TI-Nspire CX CAS 사용법 총정리 그래프 방정식 미적분

공학용 계산기를 처음 써 보는 사람들을 위한 실전압축 강의를 하나 쓰려고 합니다. 보통 공대에서, 혹은 자격증 시험을 보기 위해서 공학용 계산기를 처음 써 보는 사람이 많은데, 아무래도 공학용 계산기는 기능이 많다 보니까 기능들을 이용하기가 힘든 바가 있습니다. 이 글은 공학용 계산기의 기능 중 공통적으로 꼭 필요하고 알아 두어야 할 것들에 대하여 썼습니다. 공학용 계산기를 처음 쓰는 사람도 이해할 수 있게 쓰려고 했습니다.

목차

공학용 계산기 구매하기

제가 이 글에서 사용법을 알려드릴 공학용 계산기는 TI-Nspire CX CAS입니다. 이 계산기는 TI-Nspire 계열 계산기의 최신 모델은 아닙니다. 현재는 TI-Nspire CX II CAS라는 최신 모델이 있습니다.

하지만 해당 최신 모델과 이 계산기는 OS 버전이 달라서 아이콘의 모양 등이 다른 것만을 제외하면 전작과 사용법이 거의 똑같습니다. 이 글은 TI-Nspire CX CAS에 나타나는 화면을 기준으로 작성됩니다.

현재 TI-Nspire CX II CAS는 공식 수입처인 한국카이시스템에서 24만원 정도로 구입할 수 있습니다. 전작인 TI-Nspire CX CAS는 중고로 구하는 것이 가성비가 좋습니다.

TI-Nspire CX (II) CAS를 구매하였다면 계산기 우측 상단의 on 버튼을 눌러 계산기를 켜고 이 글을 따라가 봅시다.

계산기를 처음 켰을 때 나오는 초기 화면은 설명하지 않겠습니다. 화면에서 하라는 대로 따라하면 설정이 완료됩니다.

글을 읽는 방법

TI-Nspire 계산기는 여러 종류가 있습니다. 그 중 우리나라에서 흔하게 볼 수 있는 계산기인 TI-Nspire CX, TI-Nspire CX CAS, TI-Nspire CX II, TI-Nspire CX II CAS 등의 계산기는 아래부터 모두 TI-Nspire로 칭합니다.

ctrl 같은 표시는 계산기의 특정 키를 누르라는 표시입니다. 누르고 손을 떼면 됩니다.

TI-Nspire 기초

TI-Nspire에는 다른 공학용 계산기와는 달리 터치로 작동하는 마우스 커서가 있습니다. 화면 중앙 아래에 있는 터치패드에 손가락을 올려놓고 움직이면 화면에 마우스 커서가 나타납니다. 마우스 커서로 화면에 있는 것을 쉽게 선택할 수 있습니다. 노트북의 터치패드를 생각하면 이해하기 쉽습니다.

터치패드는 방향키 역할도 겸합니다. 4방향의 버튼을 누르면 각각 위, 아래, 왼쪽, 오른쪽 방향키로 사용할 수 있습니다. 이 글에서는 각각 ▲ , ▼ , ◀ , ▶ 로 표시합니다. 가운데는 선택 버튼입니다. 보통 enter 와 같은 기능을 합니다.

on 을 눌러 TI-Nspire를 켜면 보통 계산기와는 다르게 계산하는 화면이 바로 나오지 않습니다. 대신 컴퓨터 같은 메인 화면이 등장합니다.

메인 화면은 크게 두 섹션으로 나뉘어져 있습니다. 왼쪽은 Scratchpad, 오른쪽은 Document입니다. 각각의 특징은 아래와 같습니다.

Scratchpad로 간단한 계산을 해 봅시다. 커서로 A Calculate를 선택하거나 아래쪽에 있는 알파벳 키패드 A 를 누릅니다. 그러면 아래와 같이 팝업 창으로 Scratchpad가 나타납니다.

여기에 계산을 할 수 있습니다. 계산을 하기 전에 계산기 버튼과 관련된 중요한 설명을 하나 하겠습니다.

계산기의 버튼 개수는 한정되어 있습니다. 그러면 어떻게 많은 기능들을 계산기에 넣을 수 있을까요? 정답은 메뉴와 ctrl, shift 키입니다. 컴퓨터에서 사용하는 Ctrl, Shift 키를 생각하면 쉽습니다.

예시로 x² 키를 살펴봅시다. 이 키를 누르면 기본적으로 제곱이 입력됩니다. 이 키의 위에는 파란색으로 √라고 적혀 있습니다. 이것은 ctrl 을 누르고 x² 키를 누르면 √(제곱근)이 입력된다고 알려 주는 것입니다. ctrl 이 파란색 바탕으로 쓰여 있으니 파란색 기능이 실행된다고 이해하시면 됩니다.

주의할 사항이 한 가지 있습니다. ctrl 키를 누르고 ctrl 키에서 손을 뗀 후 다른 키를 눌러야 합니다. 컴퓨터에서 하는 것처럼 ctrl과 다른 키를 동시에 누르면 안 됩니다.

이제 계산을 시작해 봅시다. 사칙연산은 간단합니다. 식을 입력하고 enter 를 누르면 결과가 나오고 다음 식을 입력할 수 있게 커서가 아래쪽으로 이동합니다.

TI-Nspire의 아래쪽에는 a부터 z까지의 알파벳을 입력할 수 있는 알파벳 키가 있습니다. 이 알파벳 키로 함수의 이름, 변수 등을 입력할 수 있습니다. 다만 일반적인 컴퓨터 키보드의 배열인 QWERTY(쿼티)가 아닌 ABC 순으로 정렬되어 있습니다.

이렇게 키보드를 불편하게 만들어 놓은 이유는 쿼티 형식의 자판을 사용하는 계산기를 미국 SAT 시험에서 쓸 수 없기 때문입니다. 그래서 QWERTY 배열 키보드를 사용하는 동사의 계산기인 TI-92, Voyage 200 등은 SAT에서 사용할 수 없습니다.

TI-Nspire 초기화하기

본격적으로 계산기를 사용하기 전에 이 계산기를 초기화하는 방법을 익혀 봅시다. 보통 모든 Document를 초기화하면 계산기가 초기화되었다고 합니다. OS를 삭제하고 다시 깐다거나 하는 초기화는 이 글에서 다루지 않습니다.

on 2 를 눌러 My Documents 메뉴로 들어갑니다.

menu C 를 눌러 C:Delete All을 선택합니다.

그 후 enter 를 누르거나 OK를 선택하면 TI-Nspire 계산기가 초기화됩니다.

Document 만들고 관리하기

모든 계산을 Scratchpad에서만 할 수는 없습니다. 더욱 편리한 Document를 만들어 봅시다. TI-Nspire의 Document는 컴퓨터의 파일이라고 생각하면 편합니다. 각 계산별로 파일을 만들어서 계산기에 저장할 수 있습니다.

Document는 tns라는 확장자로 저장할 수 있고 각 Document 안에서는 여러 가지의 페이지를 만들 수 있습니다. 만들 수 있는 페이지의 종류는 9가지입니다. 각 페이지의 이름과 간단한 설명은 아래와 같습니다.

on 을 눌러 메인 화면으로 돌아옵니다. 1 New Document를 선택하거나 1 을 눌러 새 Document를 만듭니다.

위에서 설명했던 페이지의 종류를 결정하는 창이 뜹니다. 1 을 누르거나 enter 를 눌러 Calculator를 추가합시다. 그러면 빈 화면에 커서가 깜빡거리며 계산할 수 있는 창이 뜹니다.

맨 위 중앙에 있는 것은 현재 Document의 이름입니다. 기본적으로는 Doc으로 되어 있습니다. ctrl pad 혹은 ctrl S 를 눌러 이 Document를 계산기에 저장합시다.

파일 이름을 first라 정하고 Save를 누릅니다.

화면 맨 위에 있는 이름이 first로 바뀐 것을 볼 수 있습니다.

사칙연산 계산하기

위에서 만든 이름이 first인 Document에서 계산을 진행해 보겠습니다.

사칙연산은 일반 공학용 계산기처럼 계산할 수 있습니다. 유의해야 할 점은 식을 다 쓰고 계산 결과를 얻으려고 할 때 = 대신 enter를 눌러야 한다는 점입니다.

제곱근은 ctrl x² , 지수는 ^ 로 입력할 수 있습니다.

enter 로 계산을 끝마치면 위에 계산 기록들이 쌓여 갑니다. 전에 계산했던 식 또는 수를 다시 불러오고 싶다면 방향키로 원하는 것을 하이라이트한 후 enter 를 누르면 식(또는 수)이 현재 입력창으로 그대로 복사됩니다.

수학 식 템플릿을 사용하는 방법도 익혀 봅시다.

템플릿 키를 누르면 아래와 같이 수학 식을 작성할 수 있는 여러 가지 템플릿이 나옵니다. 분수, 루트, 미분, 적분, 급수의 합($\sum$), 극한 등 다양한 기능을 사용할 수 있습니다. 이러한 템플릿을 사용하는 방법은 글을 계속 읽으면서 배울 수 있습니다.

분수 계산을 해 봅시다. 템플릿 키를 누른 후 맨 처음에 있는 분수 아이콘을 누릅니다. 그 후 $\dfrac{2}{5}$를 숫자 키와 방향키를 이용하며 입력한 다음 enter 를 눌러 봅시다.

결과가 분수 형태로 나옵니다. 이것을 소수 형태로 고치려면 ctrl enter 를 누르면 됩니다.

또는 식을 입력할 때 수 뒤에 점을 붙이는 방법도 있습니다. $\dfrac{2.}{5}$나 $\dfrac{2}{5.}$처럼 입력하면 계산기는 분수를 소수 형태로 고쳐 줍니다.

식의 한 부분에 점이 들어갔다면 계산기는 전체 식을 소수 형식으로 표시합니다.

음수를 입력하기 위해서는 - 가 아닌 (-) 를 사용해야 합니다. 음수 기호는 빼기 기호보다 길이가 조금 더 짧은 것으로 구분할 수 있습니다.

위 식은 $2-(-3)=5$입니다.

단축키 모음

TI-Nspire의 단축키 중 일부를 정리해 보았습니다.

• ctrl × : 문자열 템플릿을 입력합니다.
• ctrl ÷ : 분수 템플릿을 입력합니다.
• shift - : 미분 템플릿을 입력합니다.
• shift + : 적분 템플릿을 입력합니다.
• ↵ : 행렬의 행, 조각함수를 추가합니다. (enter 가 아니라 알파벳 키보드 쪽에 있는 ↵ 모양으로 생긴 키를 누릅니다.)
• shift ↵ : 행렬의 열을 추가합니다. (enter 가 아니라 알파벳 키보드 쪽에 있는 ↵ 모양으로 생긴 키를 누릅니다.)
• ctrl + 책 버튼: 기호 목록을 엽니다.

계산기 설정하기

doc 7 2 를 누르면 Document settings로 들어갈 수 있습니다. 이곳에서는 계산기의 여러 설정을 조정할 수 있습니다.

이곳에서 여러 가지 것들을 설정하는 방법은 아래 문단들에서 더 자세히 다룹니다.

삼각함수, 쌍곡선함수 계산하기

trig 를 누르면 sin, cos, tan 등의 삼각함수와 역삼각함수를 입력할 수 있습니다. 하지만 삼각함수 계산을 하기 전에는 현재 각도 단위를 잘 신경써야 합니다.

각도 단위는 Document Settings에서 변경할 수 있습니다. 위에서 설명했듯이 Document Settings는 doc 7 2 를 눌러 들어갈 수 있습니다.

Angle Unit이 현재 각도 단위 설정입니다. Degree, Radian, Gradian의 세 가지 각도 단위를 고를 수 있습니다. 각 각도 단위에 대한 간단한 설명은 아래와 같습니다.

• Degree(도): sin(90)=1입니다. 원의 한 바퀴는 360도입니다.
• Radian(라디안): sin(π/2)=1입니다. 원의 한 바퀴는 2π라디안입니다.
• Gradian(그레이드): sin(100)=1입니다. 원의 한 바퀴는 400그레이드입니다.

각도 단위를 바꾸고 OK를 누르면 설정이 적용됩니다. 화면 오른쪽 위의 표시로 현재 각도 단위를 확인할 수 있습니다. DEG라면 도, RAD라면 라디안, GRA라면 그레이드입니다.

쌍곡선함수는 카탈로그에서 찾아 입력할 수도 있지만 보통 sin, cos, tan를 입력한 후 알파벳 키보드의 H 를 눌러 뒤에 h를 붙이는 게 더 빠릅니다.

특수각이 아닌 삼각함수를 입력할 때에는 아래와 같이 입력한 식이 그대로 결과로 나올 수 있습니다. 이럴 때에는 enter 대신 ctrl enter 를 누르면 됩니다.

계산 결과 표시 형식 설정하기

기본적으로 계산기는 소수점 아래 6자리까지의 결과를 보여줍니다. 만약 소수점 표시 자릿수를 바꾸고 싶거나 유효숫자 표기로 전환하고 싶다면 설정을 바꾸면 됩니다.

doc 7 2 를 순서대로 눌러 설정으로 들어갑니다. Display Digits를 바꾸면 됩니다. Float 1~12는 유효숫자의 개수를 설정합니다. Fix 1~12는 소수점 아래 자릿수의 개수를 설정합니다.

아래에 있는 Exponential Format을 Scientific, Engineering으로 바꾼다면 각각 과학적, 공학적 표기법을 사용할 수 있습니다.

복소수 계산하기

TI-Nspire는 하위 계산기와 달리 더욱 풍부한 복소수 연산을 시행할 수 있습니다. 유의해야 할 사항은 허수기호 $j$는 사용할 수 없다는 것입니다. $i$만 사용해야 합니다.

아래 설명하는 내용은 TI-Nspire CX CAS 복소수 계산하기 글에도 설명되어 있습니다.

허수기호 $i$는 π▶ 을 누르면 나오는 메뉴에서 찾아 입력할 수 있습니다. 허수기호 $i$는 계산기에서 볼드체로 표시됩니다. 허수기호 $i$를 입력할 때 알파벳 키보드의 I 로 입력하면 안 됩니다.

극좌표 형식으로 복소수를 입력할 때 쓰이는 $\angle$은 ctrl 을 누르고 책 버튼을 누르면 나오는 메뉴에서 찾아 입력할 수 있습니다. 이때 가급적이면 입력할 때에 (2∠30)처럼 복소수 전체에 괄호를 쳐야 계산할 때 오류가 발생하지 않습니다.

복소수의 사칙연산은 간단합니다. 그냥 그대로 쓰면 계산이 됩니다.

하위 계산기에서는 불가능한 $e^i$나 $\sin{i}$, $\sqrt{i}$ 등의 계산도 할 수 있습니다. 만약 "Error: Domain error"와 같은 에러가 뜬다면 각도 단위 문제입니다. doc 7 2 를 누르고 Angle을 Radian으로 변경한 후 다시 계산하면 됩니다.

복소수 관련 함수는 menu 2 9 를 누르면 찾을 수 있습니다. 자세한 내용은 위에 올린 글을 참고하시고, 이 글에서는 직각좌표↔극좌표 변환만 알아보겠습니다.

Convert to Polar를 선택하면 ▶Polar를 입력할 수 있고, 이걸 직각좌표 형식으로 표현된 복소수 뒤에 붙이면 해당 복소수를 극좌표 형식으로 바꿔 줍니다.

Convert to Rectangular를 선택하면 ▶Rect를 입력할 수 있고 사용법은 ▶Polar와 동일합니다.

방정식 해 구하기

TI-Nspire CX CAS solve 방정식 해 구하기 글을 참고하셔도 좋습니다.

solve 기능을 활용하면 여러 가지 방정식의 해를 편리하게 구할 수 있습니다.

TI-Nspire 계산기에서 방정식의 해를 구하는 방법은 크게 네 가지가 있습니다. 각각 solve, csolve, nsolve, desolve입니다. 아래 표를 참고하면 각 방법의 특징을 알 수 있습니다.

solve	방정식의 해를 구합니다. (실수 해)
csolve	방정식의 해를 구합니다. (복소수 해)
nsolve	방정식의 해를 수치적으로 구합니다.
desolve	미분방정식의 해를 구합니다.

각각을 입력하는 방법은 다음과 같습니다.(물론 알파벳 키보드로 하나하나 입력해도 됩니다.)

• solve: menu 3 1
• csolve: menu 3 C 1
• nsolve: menu 3 6
• desolve: menu 4 D

먼저 solve의 사용법을 알아봅시다. solve(방정식, 풀 문자)처럼 입력하면 됩니다. 예를 들어 이차방정식 $x^2-5x=0$을 풀려면 solve(x^2-5x=0,x)처럼 입력하면 됩니다.

두 해를 모두 찾을 수 있습니다.

위에서 언급했듯이 solve는 실수 해만 찾을 수 있습니다. 따라서 $x^2+1=0$과 같은 방정식을 입력한다면 solve는 해를 찾지 못합니다. 이때 csolve가 필요합니다.

csolve도 사용법은 solve와 비슷합니다. csolve(방정식, 풀 문자)처럼 입력하면 됩니다. 예를 들어 방정식 $x^3+1=0$을 풀려면 csolve(x^3+1=0,x)처럼 입력하면 됩니다.

연립방정식을 풀 수도 있습니다. 먼저 solve를 입력한 후 템플릿 키를 누르고 아래에 표시된 템플릿을 찾아 입력합니다.

식을 여러 개 입력할 수 있는 공간이 나타납니다. 위의 단축키 부분에서 설명했듯이 ↵ 를 누르면 식을 넣을 수 있는 공간이 하나씩 늘어납니다. 물론 del 을 누르면 공간을 하나씩 줄일 수 있습니다.

식을 다 입력하고 난 뒤에는 풀 문자를 입력하면 됩니다. 연립방정식은 풀 문자가 여러 개이니 ctrl ) 을 눌러 {}(중괄호)를 입력하고 그 안에 콤마로 풀 문자를 구분하여 입력하면 됩니다.

아래 연립방정식을 풀어 봅시다.

$$\begin{cases} x+y=5 \\ x^2+y^2=13 \end{cases}$$

위와 같이 입력하면 연립방정식의 해를 구할 수 있습니다.

desolve는 미분방정식을 풉니다. 1계와 2계 상미분방정식만을 풀 수 있고 초기조건이 없는 방정식과 있는 방정식을 모두 풀 수 있습니다.

기본적으로 desolve(미분방정식, 독립변수, 종속변수)처럼 입력하면 됩니다. 미분 기호 '와 "는 ?!▶ 을 누르면 나오는 메뉴에서 찾아 입력할 수 있습니다.

미분방정식 $y'=y$를 풀어 봅시다. desolve(y'=y, x, y)처럼 입력하면 해를 구해 줍니다.

c1은 임의의 상수, 굵게 표기된 e는 자연로그의 밑(2.71828...)입니다.

그래프 그리기

더욱 자세한 내용은 TI-Nspire CX CAS 그래프 그리기 글을 참고하세요.

그래프를 그리기 위해서는 Document에 Graphs 페이지를 추가해야 합니다. Document에 페이지를 추가해 봅시다. ctrl doc 을 눌러 새 페이지를 만듭니다.

처음 Document를 만들 때 보았던 화면이 다시 뜹니다. 이번에는 Calculator를 추가하는 것이 아니라 Graphs를 추가해야 합니다. 2 를 눌러 2:Add Graphs를 선택합니다.

새 Graphs 페이지가 생성되었습니다. 좌표평면이 있고, 위에는 함수를 입력하는 창이 있습니다. f1(x)라고 쓰인 곳에 바로 함수를 입력하여 그래프를 그려 봅시다.

$x^2$을 입력하고 enter 를 누르면 이차함수를 그립니다.

위와 같이 tab 을 누르면 그래프를 추가할 수 있습니다.

menu 를 누르면 그래프를 확대, 축소하거나 그래프의 최솟값, 최댓값 등을 찾을 수 있습니다. 더 자세한 사용법은 위에 달아 놓은 링크를 확인하시면 됩니다.

CAS 기능 활용하기

CAS는 Computer Algebra System의 줄임말입니다. 간단하게 설명하면 문자로 계산할 수 있는 기능입니다. CAS 기능 활용만 해도 글을 하나 쓸 수 있을 정도로 길어지지만 이 글에서는 기본적인 기능만을 다룹니다.

계산하는 페이지로 돌아온 후 $x+x$를 계산해 봅시다. X + X enter 를 누르면 됩니다.

결과가 $2\cdot x$로 나옵니다. 이것이 CAS가 있으면 가능한 기능 중 하나입니다. 문자끼리의 계산을 할 수 있습니다.

CAS는 미분과 적분 계산에도 유용합니다. 예로 $x^2$을 $x$에 대하여 적분하면 $x^3/3$이 되고 그 반대의 경우도 가능합니다. 미분과 적분을 계산하는 방법은 아래에 설명합니다.

이때 문자 사이의 곱하기를 생략하면 안 됩니다. 우리가 $ab$를 본다면 보통 문자 $a$와 $b$의 곱으로 해석하는 것이 일반적이지만 TI-Nspire 계산기는 $ab$를 하나의 문자로 인식합니다. 따라서 계산기에게 $ab$를 $a$와 $b$의 곱으로 해석하게 하려면 $a \cdot b$처럼 가운데에 곱하기를 넣어야 합니다.

solve로 이차방정식의 기본형 $ax^2+bx+c=0$의 해를 구해 봅시다. 위쪽 식은 곱하기를 생략하여 잘못 입력한 예입니다. 아래 식처럼 곱하기를 생략하지 않고 제대로 입력해야 합니다.

미분 적분 계산하기

TI-Nspire 미분 적분 계산하기 글을 참고하셔도 좋습니다.

템플릿 키를 누르면 미분, 적분 템플릿을 입력할 수 있습니다. 먼저 미분을 해 봅시다. 미분 템플릿을 선택합니다.

미분할 변수를 넣고 미분할 식을 넣으면 미분을 계산할 수 있습니다. 미분할 변수 이외의 문자는 모두 상수 취급됩니다. 따라서 편미분도 가능합니다.

음함수 미분도 할 수 있습니다. menu 4 E 를 누르면 impDif()를 입력할 수 있습니다. impDif(f(x,y),x,y)처럼 입력하면 해당 함수의 $dy/dx$를 계산합니다. 함수, 독립변수, 종속변수 순으로 넣으면 됩니다.

적분도 미분과 비슷하게 계산할 수 있습니다. 템플릿 키를 사용하거나 위에서 소개한 단축키를 이용하면 아래와 같이 적분 템플릿을 입력할 수 있습니다.

적분의 위끝과 아래끝을 넣을 수 있는 공간은 연한 테두리로 되어 있습니다. 이것은 해당 공간에 무언가를 넣지 않아도 된다는 표시입니다. 즉 위끝과 아래끝을 넣으면 정적분을, 넣지 않으면 부정적분을 계산합니다.

극한 계산하기

템플릿 키를 누르고 극한 모양 템플릿을 선택한 후 enter 를 누릅니다.

그런 후 빈 공간에 적절한 식이나 문자를 채우면 됩니다. 좌극한과 우극한은 +와 -를 넣으면 계산할 수 있습니다.

예로 $\lim_{x \to 0} \ln{x}$를 계산하면 undef(정의되지 않음)가 되지만 $\lim_{x \to 0^+} \ln{x}$를 계산하면 제대로 $-\infty$가 나옵니다.

식 전개, 인수분해하기

expand와 factor를 쓰면 다항식을 전개하고 인수분해할 수 있습니다. 예를 들어 $(x+1)^4$을 전개해 봅시다. expand((x+1)^4)처럼 입력하면 됩니다.

expand는 menu 3 3 을 눌러 찾아 입력하거나 알파벳 키로 입력할 수 있습니다.(이것은 모든 TI-Nspire CX CAS의 함수에 해당되는 내용입니다.)

factor도 비슷합니다. menu 3 2 을 눌러서 입력할 수도 있고 알파벳 키로 하나하나 쳐서 입력할 수도 있습니다.

이와 같이 CAS 기능의 활용은 무궁무진하지만 이 글에서 모두 다루기는 어려우므로 일부 기능은 생략합니다.