fx-570CW solve 활용 방정식 근 구하기

카시오의 fx-570CW 계산기(혹은 991CW 계산기)로 solve 기능을 활용하여 방정식을 푸는 방법을 알아봅시다.

solve 기능의 간단한 이해

계산기는 뉴튼의 방법(Newton's method)을 이용하여 방정식의 해를 구합니다. 뉴튼의 방법이 어떤 식으로 방정식의 해를 구하는지는 알 필요가 없습니다. 하지만 계산기로 방정식의 해를 잘 찾기 위해서 아래의 사항만은 숙지해야 합니다.

• 방정식의 해를 구하기 위해 초기 추정값이 필요하다.
• 보통 계산기는 초기 추정값과 가까운 해를 찾아낸다.
• 방정식의 해와 가까운 초기 추정값을 고를수록 대체로 해를 구하는 시간이 짧아진다.
• 한 번에 하나의 해만을 찾을 수 있다. 따라서 여러 해를 찾으려면 초기 추정값을 변경해 가며 solve 기능을 실행해야 한다.
• 연속함수가 아닌 경우, 그래프 모양이 복잡한 경우에는 해를 아예 찾지 못하거나, 특정 해를 찾지 못할 수 있다.

또한 fx-570CW, fx-570ES PLUS등의 계산기는 입력한 방정식을 저장하지 않습니다. 모드(메뉴)를 바꾸거나 계산기를 껐다가 켜면 입력된 방정식은 모두 삭제됩니다.

위 사항들을 숙지한 채 글을 읽어 나가며 fx-570CW로 어떻게 방정식의 해를 구할 수 있는지 감을 잡아 봅시다.

solve로 근 구하기

우선 solve 기능을 사용할 수 있는 메뉴로 들어가야 합니다. 이전 계산기(570ES PLUS 2, 570EX)는 기본 계산 메뉴에서 solve를 사용할 수 있지만 570CW는 Equation 메뉴로 들어가야 합니다.

HOME 을 누릅니다. 방향키를 사용하여 Equation 메뉴 아이콘으로 이동한 다음 EXE 를 눌러 Equation 메뉴로 들어갑니다.

Solver를 선택하면 solve 기능을 이용할 수 있습니다. 위의 Simul Equation과 Polynomial은 이름 그대로 연립방정식과 고차방정식을 푸는 메뉴입니다. 이 글에서는 들어가 볼 일이 없습니다.

Input Equation이라는 문구가 방정식을 입력하라고 도와줍니다. 이곳에 방정식을 입력하면 됩니다. 간단한 1차방정식부터 풀어 봅시다.

$5x-10=35$를 풀어 봅시다. 방정식을 입력합니다. $x$는 x 로 입력할 수 있습니다. ($x$ 대신 A, B 등 다른 변수를 사용할 수도 있지만 이번에는 $x$를 사용해 봅시다.) 등호는 SHIFT ( 로 입력할 수 있습니다.

방정식을 입력했다면 EXE 를 누릅니다. 초기값을 입력하라는 화면이 뜹니다. 계산기로 방정식을 처음 풀어 보았다면 x에 0이 입력되어 있을 것입니다. 초기값은 변경하지 말고 ▼ 을 눌러 Execute에 커서를 가져다 대고 EXE 를 누르면 해가 계산됩니다.

방정식의 근이 계산된 화면은 아래와 같습니다. x= 옆에 있는 값은 방정식의 근입니다. L-R은 방정식의 미지수에 계산된 근을 넣고 좌변-우변을 한 결과입니다. 보통 0이며, 그 값이 커질수록 계산된 방정식의 해의 신뢰도가 떨어집니다.

이번에는 이차방정식을 풀어 봅시다. $x^2-x-6=0$을 풀어 봅시다.

해가 나온 화면에서 뒤로 가기 키를 두 번 누르면 방정식 입력 화면으로 돌아올 수 있습니다.

방정식 $x^2-x-6=0$을 입력하고 초기값을 0으로 설정한 뒤 방정식을 풀어 봅시다.

해가 -2로 나옵니다. 그런데 이차방정식은 두 개의 해가 있습니다. solve는 한 번에 하나의 해만을 찾을 수 있습니다. 다른 한 해를 구하려면 초기값을 변경할 필요가 있습니다. 뒤로 가기 키를 눌러서 초기값 설정 화면으로 돌아옵니다.

위 방정식의 또 다른 양수 해를 찾기 위하여 초기값을 1000으로 설정한 다음 다시 solve를 사용합니다.

다른 해인 3이 나오는 것을 확인할 수 있습니다. 이렇게 초기값을 조정하면 방정식의 다른 해를 찾을 수 있을지도 모릅니다.

삼각함수 방정식 해 구하기

계산기로 삼각함수가 포함된 방정식의 해를 구해야 할 때도 있습니다. 가장 간단한 삼각함수가 포함된 방정식의 예를 들어 보겠습니다. $\cos{x}=0.5$는 어떻게 푸는 것이 좋을까요? 각도 단위는 Degree(도)로 가정합니다.

만약 이 방정식을 위 문단에서 설명한 대로 solve 기능으로 푼다면 아래와 같은 결과가 나오기 일쑤입니다.

물론 이 결과가 잘못된 것은 아닙니다. 삼각함수는 주기함수이기 때문에 $\cos{60}=0.5$ 못지 않게 $\cos{10000020}=0.5$도 성립하기 때문입니다.

그렇다면 우리가 원하는 해 60이 나오려면 계산기를 어떻게 조작해야 할까요? 두 가지 방법이 있습니다.

첫 번째 방법은 역삼각함수를 활용하는 것입니다. HOME HOME EXE 를 눌러 Calculate 메뉴로 돌아옵니다. 그런 다음 아래와 같이 입력합니다. 참고로 0.5처럼 소수점 앞에 0이 있는 경우에는 0을 생략하여 입력해도 괜찮습니다.

SHIFT cos . 5 =

역삼각함수는 삼각함수의 주치 안에서만 결과를 반환하기 때문에 보통 우리가 원하는 답을 얻을 수 있습니다.

두 번째 방법은 초기값을 적당히 설정하는 것입니다. 삼각함수가 포함된 방정식은 초기값을 0으로 설정하였을 때 답을 잘 찾지 못하는 경우가 있습니다. 초기값을 0 대신 10이나 20 같은 다른 수로 설정해 봅시다.

초기값은 Enter Initial Value가 나타난 화면에서 설정할 수 있습니다. 방금 푼 방정식을 다시 입력하고 초기값을 10으로 설정한 뒤 다시 solve를 실행해 봅시다.

해가 60으로 잘 나오는 것을 확인할 수 있습니다.

삼각함수가 포함된 복잡한 방정식은 또 다른 방법으로 해결할 수 있습니다.

$$87.297=\sqrt{40^2+50^2+2 \cdot 40 \cdot 50\cos{\theta}}$$

위 방정식은 solve로 풀었을 때 해가 잘 나오지 않는 방정식입니다. solve 기능으로 풀면 아래와 같이 매우 큰 해가 나옵니다.

이 문제를 해결하는 방법도 두 가지가 있습니다. 첫 번째는 치환입니다. $\cos{\theta}$를 $x$로 치환하고 solve 기능을 사용한 후 역삼각함수를 이용하여 풀이를 마무리하면 됩니다.

$87.297=\sqrt{40^2+50^2+2 \cdot 40 \cdot 50 x}$를 solve로 풀면 해가 약 0.88로 나옵니다.

이후 일반 계산 모드로 돌아가 $\cos^{-1}{x}$를 계산하면 됩니다. (SHIFT cos x =) 따라서 위 방정식의 해는 약 28.33입니다.

두 번째 방법은 앞에서 소개했던 간단한 삼각함수 방정식과 마찬가지로 초기값을 잘 설정하는 방법입니다. 초기값을 0 대신 10으로 설정해 봅시다. 그렇다면 아래와 같이 근이 잘 나오게 됩니다.