한양대학교 미분적분학1 기출 해설

$$a_n=3^n \sin^3{\dfrac{1}{3^n}}$$

라고 하자. $n \to \infty$일 때 $a_n \to 0$이므로 Divergence Test는 실패한다.

$a_n$에 n제곱이 있으므로 Ratio Test를 적용하자.

$$\lim_{n \to \infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n \to \infty}\left|\dfrac{3^{n+1}\sin^3{\dfrac{1}{3^{n+1}}}}{3^n\sin^3{\dfrac{1}{3^n}}}\right|=3\lim_{n \to \infty}\left|\left(\dfrac{\sin{1 / 3^{n+1}}}{\sin{1 / 3^n}}\right)^3\right|$$

이고,

$$\lim_{n \to \infty}\dfrac{\sin{\dfrac{1}{3^{n+1}}}}{\sin{\dfrac{1}{3^n}}}\overset{LH}{=}\dfrac{1}{3}$$

이니 주어진 극한은 $\dfrac{1}{9} \lt 1$이다. 따라서 Ratio Test에 의해 주어진 급수는 절대수렴한다.

이제 수렴값을 구하자. 식을 간단하게 하기 위해 $t=\dfrac{1}{3^n}$으로 놓으면 $a_n=\dfrac{\sin^3{t}}{t}$이 된다. 반각공식과 곱을 합으로 바꾸는 공식을 적절히 사용하면

$$\dfrac{\sin^3{t}}{t}=\dfrac{3}{4}\left( \dfrac{\sin{t}}{t} - \dfrac{\sin{3t}}{3t} \right)$$

를 얻는다.(3배각 공식을 이용해도 된다.)

따라서 주어진 급수는

$$\dfrac{3}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{\sin{1 / 3^n}}{1 / 3^n} - \dfrac{\sin{1 / 3^{n-1}}}{1 / 3^{n-1}} \right)$$

이니 망원급수 꼴임을 알 수 있다. 부분합을 구하면

$$S_k=\dfrac{3}{4} \left( \dfrac{\sin{1 / 3^k}}{1 / 3^k} - \sin{1} \right)$$

이니 수렴값은

$$\lim_{k \to \infty} S_k=s=\dfrac{3}{4} \left( 1 - \sin{1} \right)$$

이다.

$\cosh{x} \geq 1$에서 $0 \lt \dfrac{1}{\cosh{x}} \leq 1$이고, $\tan^{-1}{x} \lt \dfrac{\pi}{2}$이니

$$0 \leq {2\tan^{-1}{n} \over n\sqrt{n}\cosh{n}} \leq {2\tan^{-1}{n} \over n\sqrt{n}} \leq {\pi \over n\sqrt{n}}$$

이다. $\sum \dfrac{\pi}{n\sqrt{n}}$은 p-급수 판정법에 의해 수렴하므로 이 급수도 비교판정법에 의하여 수렴한다.